3. மீ.பொ.ம மற்றும் மீ.பொ.வ க்கு இடையேயான தொடர்பு

\(f(x) = 21(x^4 - x^2)\) மற்றும் \(g(x) = 16(x^2 + 3x)^2\) என்க. \(f(x) \times g(x) = \text{மீ.பொ.ம}[f(x),g(x)] \times \text{மீ.பொ.வா} [f(x),g(x)]\) என்பதை சரிபார்க்க.

 

தீர்வு:

 

நிறுவுக: \(f(x) \times g(x) = \text{மீ.பொ.ம}[f(x),g(x)] \times \text{மீ.பொ.வா} [f(x),g(x)]\).

 

நிரூபணம்: \(f(x) = 21(x^4 - x^2) = 3 \times 7 \times x^2 \times (x^2 - 1) = 3 \times 7 \times x^2 \times (x + 1)(x - 1)\)

 

\(g(x) = 16(x^2 + 3x)^2 = 2^4 \times (x^4 + 6x^3 + 9x^2) = 2^4 \times x^2 \times (x^2 + 6x + 9) = 2^4 \times x^2 \times (x + 3)(x + 3)\)

 

இப்போது, \(\text{மீ.பொ.ம}[f(x),g(x)] = 3 \times 7 \times 2^4 \times x^2 \times (x + 1)(x - 1) \times (x + 3)(x + 3)\)

 

\(= 336 \times x^2(x^2 -1)(x + 3)^2\)

 

\(\text{மீ.பொ.வா} [f(x),g(x)] = x^2\)

 

\(LHS = f(x) \times g(x)\) என்பதைக் கருதுவோம்.

 

\(f(x) \times g(x) = 21(x^4 - x^2) \times 16(x^2 + 3x)^2 = 336(x^4 - x^2)(x^2 + 3x)^2\) ---- (\(1\))

 

\(RHS = \text{மீ.பொ.ம}[f(x),g(x)] \times \text{மீ.பொ.வா} [f(x),g(x)]\) என்பதைக் கருதுவோம்.

 

\(\text{மீ.பொ.ம}[f(x),g(x)] \times \text{மீ.பொ.வா}[f(x),g(x)] = 336 \times x^2(x^2 - 1)(x + 3)^2 \times x^2\)

 

\(= 336x^2(x^2 -1) \times x^2(x^2 + 6x + 9)\)

 

\(= 336(x^4 - x^2)(x^4 + 6x^3 + 9x^2)\)

 

\(= 336(x^4 - x^2)(x^2 + 3x)^2\) ---- (\(2\))

 

சமன்பாடு (\(1\)) மற்றும் (\(2\))யிலிருந்து, நமக்கு கிடைப்பது:

 

\(f(x) \times g(x) = \text{மீ.பொ.ம}[f(x),g(x)] \times \text{மீ.பொ.வா} [f(x),g(x)]\)

 

இதிலிருந்து, நிரூபிக்கப்பட்டது.