1. பிதாகரஸ் தேற்றம்

  

  

  

  

 

$ABC$ என்பது ஒரு செங்கோண முக்கோணம்.

 

அதாவது, $\angle ABC$ $=$ $90^{\circ}$.

 

 

$AC^2=AB^2+BC^2$

  

 

$B$ லிருந்து $AC$ க்கு  $BD \perp AC$ என்றவாறு $BD$ என்ற நேர்க்கோடு வரைக.

 

$ABC$ மற்றும் $BDC$ என்ற முக்கோணங்களை எடுத்துக்கொள்வோம்.

 

$\angle C$ என்பது இரண்டு முக்கோணங்களுக்கும் பொதுவான கோணம் ஆகும்.

 

இங்கு, $BD \perp AC$.

 

எனவே, $\angle BDC$ $=$ $90^{\circ}$.

 

மேலும், $\angle ABC$ $=$ $90^{\circ}$.

 

கோ-கோ வடிவொத்தப் பண்பின்படி,(ஒரு முக்கோணத்தின் இரண்டு கோணங்கள், மற்றொரு முக்கோணத்தின் இரண்டு கோணங்களுக்குச் சமம் எனில், அவ்விரு முக்கோணங்களும் வடிவொத்தவை ஆகும்.) $ABD$ மற்றும் $BDC$ ஆகிய முக்கோணங்கள் வடிவொத்தவை.

 

எனவே, முக்கோணங்களின் பக்கங்களின் விகிதம் சமம் ஆகும்.

 

அதாவது, $\frac{BC}{CD} = \frac{AC}{BC}$.

 

இதன் மூலம், $BC^{2} = AC \times CD$        ……$(1)$

 

தற்பொழுது, $ABC$ மற்றும் $ABD$ என்ற முக்கோணங்களை எடுத்துக்கொள்வோம.

 

மீண்டும் கோ-கோ பண்பின்படி, $\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AB}$.

 

இதன் மூலம், $AB^{2} = AC \times AD$        ……$(2)$

 

$(1)$ மற்றும் $(2)$ வது சமன்பாட்டை கூட்ட,

 

$BC^2 + AB^2$ $=$ $(AC \times CD) + (AC \times AD)$

 

$=$ $AC (CD +AD)$

 

$=$ $AC \cdot AC$

 

$=$ $AC^2$.

 

எனவே, $AC^2 = AB^2 + BC^2$.

 

பிதாகரஸ் தேற்றம் நீருபிக்கப்பட்டது.